新课改地区高三数学一轮专题复习第51讲 椭圆的方程（解析版）

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第51 讲 椭圆的方程
一、课程标准
1、了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．
3、通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．
4、了解椭圆的简单的应用.
二、基础知识回顾
1、 椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合 P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合 P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合 P为线段；
(3)若a＜c，则集合 P为空集．
2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分
别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积
为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P为短轴端点时，S取最大值，最大值为 bc.
(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
三、自主热身、归纳总结
1
1、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在 y轴上，且焦距为 4，则 m等于(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．9 D．10
【答案】C　
【解析】由椭圆＋＝1的长轴在 y轴上，焦距为 4，可得＝2，解得 m＝9.故选 C.
2、适合 b＝1，c＝，焦点在 y轴上的椭圆的标准方程是( )　　　　　　　　　　　　　　　
A. ＋y2＝1 B. ＋y2＝1
C. ＋x2＝1 D. ＋x2＝1
【答案】D
【解析】　由题意得，a＝＝4由焦点在 y轴上，得椭圆的标准方程是＋x2＝1.故选 D.
3、 已知方程＋＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是( )
A. B. (1，2)
C. D. ∪
【答案】C
【解析】　(方法 1)由焦点在 x轴上，则2－k>k－1，则k<，排除 B、D，取k＝0代入得方程＋＝1，它不
是椭圆，排除 A.故选 C.
(方法 2)由已知得，解得 1<k<.故选 C.
4、 若点 D(2，3)在椭圆 M：＋＝1(m>0，n>0)上，且其中一个焦点是(－2，0)，则椭圆 M的方程为（
）
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
【答案】B
2
【解析】　(方法 1)由一个焦点是(－2，0)，知焦点在 x轴上，排除 A，C，由题意知 c＝2，与选项 D中的 c
＝＝4矛盾．故选 B.
(方法 2)由题意知椭圆 M是标准方程，由一个焦点是(－2，0)，知焦点在 x轴上，c＝2，另一个焦点是
(2，0)，由椭圆定义，得2a＝＋＝5＋3＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12.故选 B.
5、(2020·安徽江南十校模拟)已知椭圆 G的中心为坐标原点 O，点 F，B分别为椭圆 G的右焦点和短轴端点．
点O到直线 BF 的距离为，过 F垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】C　
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知设 BF 的方程为＋＝1，因为点 O到直线 BF 的距离为.所以
＝，又因为过 F垂直于椭圆长轴的弦长为 2，所以＝2，结合 a2＝b2＋c2，知 a＝4，b＝2，故选 C.
四、例题选讲
考点一 椭圆的定义及其应用
例1　已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点 F2(1，0)，动圆 M过点 F2，且与圆 F1相内切，那么点 M的轨迹 C
的方程为____．
【答案】＋＝1
【解析】　设圆 M的半径为 r.∵圆 M与圆 F1相内切，∴MF1＝4－r.∵圆 M过点 F2，∴MF2＝r，∴MF1＝4
－MF2，即MF1＋MF2＝4>F1F2，∴点 M的轨迹 C是以 F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为＋＝
1(a>b>0)，则有 2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝，∴轨迹 C的方程为＋＝1.
变式 1、(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使 M与F
重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与OM 交于点 P，则点 P的轨迹是(　　)
3
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