新课改地区高三数学一轮专题复习第39讲 平面的性质与点线面的位置关系（解析版）

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第39 讲：平面的性质与点线面的位置关系
一、课程标准
1、了解平面的基本性质
2、掌握空间两条直线的位置关系
3、会求异面直线所成的角
二、基础知识回顾
1、 平面的基本性质
(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．
推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(2)两条异面直线不能确定一个平面．
(3)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.
(4)异面直线所成的角
① 定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与b′所成的锐角(或
直角)叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角)．
② 范围：.
(5)公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(6)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
② 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这
两个角互补．
③ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
1
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
3、知识必备
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点 A与平面内一点 B的连线和平面内不经过点 B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
三、自主热身、归纳总结
1、下列命题中，真命题的个数为(　　)
① 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
② 两条直线可以确定一个平面；
③ 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l.
　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】 根据公理 2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，
相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上所
述，真命题的个数为 2.
2、 已知 l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)
A. 若l1⊥l2，l2⊥l3，则 l1∥l3
B. 若l1⊥l2，l2∥l3，则 l1⊥l3
C. 若l1∥l2∥l3，则 l1，l2，l3共面
D. 若l1，l2，l3共点，则 l1，l2，l3共面
【答案】 B
【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A错误；若两条平行直线中的一条垂直
于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故 B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的
三条侧棱，故 C错误；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故 D错误．
3、设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
2
①若a∥b，b∥c，则 a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则 a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则 a与c相交；
④若a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a，b一定是异面直线．
上述命题中正确的命题是________．(填序号)
【答案】 ①
【解析】 由公理 4知①正确；当 a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当 a与b相交，
b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明 a与b“不同在任
何一个平面内”，故④错误．
4、 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为________．
【答案】 4
【解析】 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定 4个平面．
5、如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则
(1)当AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 为菱形；
(2)当AC，BD 满足条件________时，四边形 EFGH 为正方形．
【答案】(1)AC＝BD　(2)AC＝BD 且AC⊥BD
【解析】 (1)∵四边形 EFGH 为菱形，
∴EF＝EH，故 AC＝BD.
(2)∵四边形 EFGH 为正方形，∴EF＝EH 且EF⊥EH，
∵EF 綊AC，EH 綊BD，∴AC＝BD 且AC⊥BD.
6、如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C与EF 所成角的
大小为________．
【答案】 60°
【解析】 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又 B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为
等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
四、例题选讲
考点一 平面的基本性质及应用
例1　如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是 AB 和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA 三线共点．
3
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