新课改地区高三数学一轮专题复习第03讲 不等式及性质（解析版）

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第 3讲：不等式及性质
一、课程标准
1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，
2、了解不等式(组)的实际背景．
3、掌握不等式的性质及应用
二、基础知识回顾
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a
>
b
， c
>
d
⇒
a
＋ c
>
b
＋ d
；
(4)可乘性：a
>
b
， c
>0
⇒
ac
>
bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　 c<0 时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0<b⇒<.
(3)a>b>0,0<c<d⇒>.
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
4、两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
1
三、自主热身、归纳总结
1、若a＝，b＝，则 a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】：易知 a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以 b＞a.
2、已知－1<x<4,2<y<3，则 x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
【答案】：(－4,2)　(1,18)
【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
3、下列四个命题中，为真命题的是(　　)
A．若 a>b，则 ac2>bc2
B．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
C．若 a>|b|，则 a2>b2
D．若 a>b，则<
【答案】　C
【解析】　当 c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而 2－3<1－(－1)，故 B不成立；a＝2，b＝－1时，D不
成立；由 a>|b|知a>0，所以 a2>b2，故选 C．
4、设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；② ac<bc；③ logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】由不等式性质及 a>b>1，知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数 y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，
又a>b>1，∴ac<bc，②正确；
∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
2
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．
5、(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a＜b B.－c＞－c
C.＞ D．ac2＜bc2
【答案】ABC　
【解析】因为 y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以 a＜b.因为 y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.
因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以 D不成立．故选 A、B、C.
四、例题选讲
考点 1、不等式的性质
例1、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③ a－＞b－；④ ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(
)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】　C
【解析】方法一　因为＜＜0，故可取 a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为 ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.
综上所述，可排除 A，B，D.
方法二　由＜＜0，可知 b＜a＜0.① 中，因为 a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
② 中，因为 b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③ 中，因为 b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以 a－＞b－，故③正确；
④ 中，因为 b＜a＜0，根据 y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得 b2＞a2＞0，而 y＝ln x在定义域(0，＋∞)上
为增函数，所以 ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
变式 1、设 为实数,且,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于 A，令 ，故 A错误；
3
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