新课改地区高三数学一轮专题复习第01讲 集合的概念与运算（解析版）

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第 1 讲：集合的概念与运算
一、课程标准
1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．
3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
二、基础知识回顾
1、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。
2、集合间的基本关系
(1)子集：若对任意 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B或B⊇A。
(2)真子集：若 A⊆B，且集合 B中至少有一个元素不属于集合 A，则 A B 或B A。
(3)相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B。
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合 A且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为 A与B的交集，记作 A∩B，即
A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素组成的集合，称为 A与B的并集，记作 A∪B，
即A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．
(3)补集：对于一个集合 A，由全集 U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集 U的补
集，简称为集合 A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．
4、集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。
1
5、相关结论：
(1)若有限集 A中有 n个元素，则 A的子集有 2n个，真子集有 2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合 A的子集，是任何非空集合 B的真子集．记作∅.
三、自主热身、归纳总结
1、已知集合 A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3，4,5}，则 A∩B＝(　　)
A．{3}　　　　　　　　 B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
【答案】C
【解析】　因为 A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}，故选 C.
2、已知全集 U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}
【答案】D
【解析】　∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0 或x≥1}，在数轴上表示如图.
∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.
3、已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则 A∪B＝(　　)
A．[－1,4] B．(0,3]
C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4]
【答案】A
【解析】　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以 A∪B＝{x|－1≤x≤4}．
4、已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则 A∩B＝________.
【答案】　{1，3}
【解析】　由 A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5}，因此 A∩B＝{1，3}.
5、已知集合 A＝{x|x2－2x＋a>0}，且 1∉A，则实数 a的取值范围是________.
【答案】(－∞，1]
【解析】∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，
2
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
6、（多选题）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列选项正确的有 　　
A．B．C．D．
【答案】B、D
【解析】 ， ， ， ， ，
7、（多选题）已知集合 ， ， ．若 ，则实数 的值可能是 　　
A．B．1 C．2 D．5
【答案】、A、B
【解答】解： ，
，
四、例题选讲、变式突破
考点一 集合的基本概念
例1、已知集合 A＝，则集合 A的子集的个数为(　　)
A． 7 B． 8 C． 15 D．16
【答案】B
【解析】由≤0，可得(x＋1)(x－2)≤0，且 x≠2，解得－1≤x<2.又x∈Z，可得 x＝－1,0,1，∴A＝{－
1,0,1}．∴集合 A的子集的个数为 23＝8.
【变式 1】若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝(　　)
A. B. C.0 D.0 或
【答案】D
【解析】若集合 A中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝，
所以 a的取值为 0或.
【变式 2】设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则 b－a＝(　　)
A．1 B．－1
3
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