新课标高中数学人教A版课本和真题精耕细作系列（必修5）3.4基本不等式 （解析版）

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必修五同步训练 3.4 基本不等式
A组（源自课本）
1．(必修 5 P100A组T1(2)改编)将正数 m分成两个正数 a与b之和，则 ab 的范围为(　　)
A．(0，] B．(0，] C．[，＋∞) D．[，＋∞)
[解析] a＋b＝m≥2，∴ab≤，故选 B.
2．(必修 5 P100 练习 T1改编)函数 f(x)＝x＋的值域为(　　)
A．[－2,2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] [2∪，＋∞) D．R
[解析] 当x>0 时，x＋≥2＝2.
当x<0 时，－x>0.－x＋≥2＝2.
∴x＋≤－2.∴f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2] [2∪，＋∞)．故选 C.
3．(必修 5 P100 练习 T3改编)用长为 a(a>0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为 (
)
A. B. C. D.
[解析] 设折成的矩形的两边分别为 x，y(x>0，y>0)．则 x＋y＝.
∵x＋y≥2，∴xy≤(x＋y)2＝，即 S矩形≤.
当且仅当 x＝y＝时，Smax＝.故选 D.
4．(必修 5 P101A组T3改编)以周长为 l的矩形的一边为轴旋转一周，所得圆柱侧面积的最大
值为(　　)
A.l2 B.l2 C.l2 D.l2
[解析] 设矩形的长与宽分别为 a，b.则a＋b＝.S圆柱侧＝2πab.
由a＋b≥2 得ab≤(a＋b)2＝.∴S圆柱侧＝2πab≤2π×＝l2.
当且仅当 a＝b＝时，Smax＝l2，故选 C.
5．(必修 5 P100 练习 T2改编)直角三角形的周长为 4＋2，则面积的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
[解析] 设直角三角形两直角边分别为 a，b.则a＋b＋＝4＋2.
由a＋b＋≥2＋＝(2＋)得≤＝2.
1
∴ab≤4.当且仅当 a＝b＝2时，取“＝”．所以 S＝ab≤2.
即a＝b＝2时，Smax＝2.故选 B.
6．(必修 5 P100 练习 T3改编)将20 cm 长的铁丝分成两段，各做成一个正方形，则这两个正
方形的面积之和的最小值为(　　)
A．200 cm2 B．50 cm2 C．25 cm2 D. cm2
[解析] 设两个正方形的边长分别为 a，b.则4a＋4b＝20.
即a＋b＝5，面积和 S＝a2＋b2，
(∵a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)．
∴a2＋b2≥＝，当且仅当 a＝b＝时，Smin＝.故选 D.
7．(必修 5 P100A组T2改编)一段长为 L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最
大面积为(　　)
A. B. C. D．L2
[解析] 设菜园的长为 x，宽为 y，则 x＋2y＝L，面积 S＝xy，
∵x＋2y≥2.∴xy≤＝.
当且仅当 x＝2y＝，即 x＝，y＝时，Smax＝，故选 A.
8．(必修 5 P101B组T1改编)当3<x<12 时，函数 y＝的最大值为________．
[解析] y＝＝＝－(x＋)＋15≤－2＋15＝3.
当且仅当 x＝，即 x＝6时，ymax＝3.
9．(必修 5 P101B组T2改编)如图，AC⊥DC，AC＝a，BC＝b.(a>b)，P是CD 上一点．当
∠APB 最大时，PC 的长度为________．
[解析] 设PC＝m.则tan∠APC＝，tan∠BPC＝，∴tan∠APB＝tan(∠APC－∠BPC)＝＝≤
2
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