新高考数学之圆锥曲线综合讲义第28讲 四点共圆问题（原卷版）
第28 讲 四点共圆问题
一、解答题
1．已知直线 交抛物线 于 两点．
（1）设直线 与 轴的交点为 ．若 ，求实数 的值；
（2）若点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求证： 四点共圆．
2．已知椭圆 上三点 、 、 与原点 构成一个平行四边形 ．
（1）若点 是椭圆 的左顶点，求点 的坐标；
（2）若 、 、 、 四点共圆，求直线 的斜率．
3．已知抛物线 ： （ ）上的点 到其焦点的距离为 1．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求直线 ： 交抛物线 于两点 、 ，线段 的垂直平分线交抛物线 于两点 、 ，
求证： 、 、 、 四点共圆．
4．已知直线 与 轴， 轴分别交于 ， ，线段 的中垂线 与抛物线
有两个不同的交点 、 ．
（1）求 的取值范围；
（2）是否存在 ，使得 ， ， ， 四点共圆，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
5．已知斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点， 的垂直平分线与椭圆交于 ，
两点，点 是线段 的中点.
（1）若 ，求直线 的方程以及 的取值范围；
1
（2）不管 怎么变化，都有 ， ， ， 四点共圆，求 的取值范围.
6．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，且 ，直线 与
椭圆交于 ， 两点．
（Ⅰ）若△ 的周长为 ，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 ，且 ， ， ， 四点共圆，求椭圆离心率 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设 为椭圆上一点，且直线 的斜率 ，试求直线 的
斜率 的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ， 为右准线上一点．
点 在椭圆上，且 ．
（1）若椭圆的离心率为 ，短轴长为 ．求椭圆的方程；
（2）若在 轴上方存在 两点，使 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
8．已知抛物线 的焦点为 F，准线为 为坐标原点，过 F的直线 m与抛物线 E交于 两
点，过 F且与直线 m垂直的直线 n与准线 交于点 M．
2
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