新高考数学之圆锥曲线综合讲义第25讲 蝴蝶问题（解析版）

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第25 讲 蝴蝶问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，已知圆 ，点 ， 是圆 上任意一点，线段
的垂直平分线与半径 相交于点 ，设点 的轨迹为曲线 。
(1)求曲线 的方程；
(2)若 ，设过点 的直线 与曲线 分别交于点 ，其中
，求证：直线 必过 轴上的一定点。(其坐标与 无关)
【答案】(1) ； (2) 证明见解析
【分析】
（1）由椭圆的定义可直接求出求曲线 的方程；（2）先求出直线 的方程，再分别与椭圆
联立方程组，求出 两点的坐标并写出直线 的方程
【详解】
（1）∵ 在线段 的垂直平分线上，∴
∴
由椭圆的定义知点 的轨迹是以 为焦点，6为长轴长的椭圆
，∴
曲线 的方程为： 。
（2）点 的坐标为
1
直线 方程为： ，即 ，
直线 方程为： ，即 。
分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ，
解得： .
当 时，直线 方程为：
令 ，解得： 。此时必过点 ；
当 时，直线 方程为： ，与 轴交点为 。
所以直线 必过 轴上的一定点 。
【点睛】
本题主要考查利用定义法求椭圆的标准方程及圆锥曲线中的定点问题，计算量大，第二问难度大，是高考
压轴题。
2．已知椭圆 的左､右顶点分别为点 ， ，且 ，椭圆 离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点，且斜率不为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ， 的交于点 ，
求证：点 在直线 上.
2
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题知 ，解方程即可得 ， ，故椭圆 的方程是 .
（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线 ， 的交点 的坐标是 .当直线斜率存在时，设直
线方程为 ， ， ，进而联立方程结合韦达定理得 ，
，直线 的方程是 ，直线 的方程是 ，进而计
算得 时的纵坐标，并证明其相等即可.
【详解】
解：（1）因为 ，椭圆 离心率为 ，
所以 ，解得 ， .
所以椭圆 的方程是 .
（2）①若直线 的斜率不存在时，如图，
3
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