新高考数学之圆锥曲线综合讲义第21讲 一类中点连线过定点问题（解析版）

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第21 讲 一类中点连线过定点问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，已知平行四边形 两条对角线的长度之
和等于 ．
（1）求动点 的轨迹方程；
（2过 作互相垂直的两条直线 、 ， 与动点 的轨迹交于 、 ， 与动点 的轨迹交于
点 、 ， 、 的中点分别为 、 ；
① 证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标．
② 求四边形 面积的最小值．
【答案】（1） ；（2）①证明见解析，定点坐标为 ；② .
【分析】
（1）设点 的坐标为 ，根据已知条件得出 ，结合椭
圆的定义可知点 的轨迹是椭圆，求出 、 、 的值，结合椭圆的焦点位置可得出点 的轨迹方程，并
求出 的取值范围；
（2）①分析出直线 的斜率存在且不为零，可设直线 的方程为 ，可得出直线 的
方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与点 的轨迹方程联立，求出点
的坐标，同理求出点 的坐标，求出直线 的方程，进而可得出直线 所过定点的坐标；
② 求得 、 ，利用基本不等式可求得四边形 面积的最小值．
1
【详解】
（1）设点 ，依题意 ，
，
所以动点 的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则 ， ， ，
动点 的轨迹方程是 ；
（2）①若 与 轴重合，则直线 与动点 的轨迹没有交点，不合乎题意；
若 与 轴重合，则直线 与动点 的轨迹没有交点，不合乎题意；
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
直线 、 均过椭圆的焦点（椭圆内一点）， 、 与椭圆必有交点．
设 、 ，由 ，
由韦达定理可得 ，则 ，
所以点 的坐标为 ，同理可得点 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程是 ，
2
即 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ．
综上，直线 过定点 ；
② 由①可得 ， ，
，
同理可得 ，
所以，四边形 的面积为 ，
当且仅当 取等号．
因此，四边形 的面积的最小值为 .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
2．在直角坐标系 中，已知一动圆经过点 且在 轴上截得的弦长为 4，设动圆圆心的轨迹为曲线
．
3
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