新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题（原卷版）
第15 讲 长度定值问题
一、解答题
1．已知椭圆： ，过坐标原点 O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于 A，B两点．
（1）求证：O到直线 AB 的距离为定值．
（2）求 0AB 面积的最大值．
2．已知直线 l的方程为 x＝﹣2，且直线 l与x轴交于点 M，圆 O： 与 x轴交于 A，B两点（如
图）．
（1）过 M点的直线 l1交圆于 P、Q两点，且 O点到直线 l1的距离为 ，求直线 l1的方程；
（2）求以 l为准线，中心在原点，且短轴长为圆 O的半径的椭圆方程；
（3）过 M点的圆的切线 l2，交（2）中的一个椭圆于 C、D两点，其中 C、D两点在 x轴上方，求线段 CD
的长．
3．已知椭圆 .
（1）直线 过点 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程；
（2）在圆 上取一点 ，过点 作圆 的切线 与椭圆 交于 两点，求
的值.
4．已知 分别是椭圆 的左，右焦点，过点 的直线 l与椭圆 C交于 A，B
两点，点 在椭圆 上，且当直线 垂直于 轴时， .
1
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）是否存在实数 t，使得 恒成立.若存在，求出 的值；若不存在，说明理由
5．设椭圆 C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭
圆的左、右焦点，且离心率 e且过椭圆右焦点 F2的直线 l与椭圆 C交于 M、N两点．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）是否存在直线 l，使得 2．若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若 AB 是椭圆 C经过原点 O的弦，MN∥AB，求证： 为定值．
6．已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，
并求该数列的公差．
7．已知椭圆 ，离心率 ，点 在椭圆上．
2
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