新高考数学之圆锥曲线综合讲义第12讲 定点问题（解析版）

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第12 讲 定点问题
一、解答题
1．设椭圆 经过点 ，且离心率等于 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆于 两点，且满足 ，试判断直线 是否过定点，
若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）将点 代入椭圆标准方程，结合 列方程组，解这个方程组求得
，椭圆方程为 ；（2）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，写出韦
达定理，利用 ，解得 ，此直线过定点 .
试题解析：
（1）
（2）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程得
，
，
1
由 得 ，
（舍去）， ，所以过定点
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
考点：直线与圆锥曲线位置关系.
【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆
的标准方程，除了 这一条件，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列
方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量
积等于零来求解.
2．已知椭圆 的离心率为 ，M是椭圆 C的上顶点， ，F2 是椭圆 C的焦点，
的周长是 6．
（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；
（Ⅱ）过动点 P（1，t）作直线交椭圆 C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过 P作直线 l，使 l与直线 AB 垂直，
证明：直线 l恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）由题得到关于 a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆 C的标准方程；（Ⅱ）当直线 AB 斜率存在，设 AB
的直线方程为 ，进一步求出直线的方程为 ，
所以直线 恒过定点 .当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时直线 为 轴，也过
2
.综上所述直线 恒过点 .
【详解】
解：（Ⅰ）由于 是椭圆 的上顶点，由题意得 ，
又椭圆离心率为 ，即 ，
解得 ， ，
又 ，
所以椭圆 的标准方程 ．
（Ⅱ）当直线 AB 斜率存在，设 AB 的直线方程为 ，
联立 ，得
，
由题意， ，
设 ，
则 ，
因为 ，所以 是 的中点．
即 ，得 ，
①
3
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