新高考数学之圆锥曲线综合讲义第5讲 四形面积问题（原卷版）

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第5讲 四形面积问题
一、解答题
1．已知椭圆 C：+ =1（a＞b＞0）的两个焦点分别为 F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为 ．过
焦点 F2的直线 l（斜率不为 0）与椭圆 C交于 A，B两点，线段 AB 的中点为 D，O为坐标原点，直线 OD
交椭圆于 M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）当四边形 MF1NF2为矩形时，求直线 l的方程．
2．设椭圆 的上焦点为 F，椭圆 E上任意动点到点 F的距离最大值为 ，最
小值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的标准方程；
（Ⅱ）过点 F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆 E交于 P，Q和M，N，求四边形 PMQN 的面积的最大
值．
3．设椭圆 （a＞b＞0）的焦点分别为 F1（﹣1，0）、F2（1，0），直线 l：x＝a2交x轴于点
A，且 ．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过 F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形
DMEN 面积的最大值和最小值．
1
4．设圆 的圆心为 A，直线 l过点 B（1,0）且与 x轴不重合，l交圆 A于C，D两点，
过B作AC 的平行线交 AD 于点 E.
（I）证明 为定值，并写出点 E的轨迹方程；
（II）设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交C1于M,N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点，求
四边形 MPNQ 面积的取值范围.
5．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标为 ， 的
面积为 .
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上，
，且直线 与直线 间的距离为 ，四边形 的面积为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
6．已知点 在椭圆 :（ ）上，且点 到左焦点 的距离为 3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 关于坐标原点 的对称点为 ，又 ､两点在椭圆 上，且 ，求凸四边形
面积的最大值.
2
7．如图，已知椭圆 C： 的短轴端点分别为 B1，B2，点 M是椭圆 C上的动点，且不与 B1，B2重
合，点 N满足 NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.
（1）求动点 N的轨迹方程；
（2）求四边形 MB2NB1面积的最大值．
8．设椭圆 的离心率 ，椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为 3.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 的外切矩形 的面积 的取值范围.
9．已知椭圆 ，过点 作互相垂直的两条直线分别交椭圆 于点 （ 与 不重
合）.
（1）证明：直线 过定点 ；
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