新高考数学之圆锥曲线综合讲义第5讲 四形面积问题（解析版）

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第5讲 四形面积问题
一、解答题
1．已知椭圆 C：+ =1（a＞b＞0）的两个焦点分别为 F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为 ．过
焦点 F2的直线 l（斜率不为 0）与椭圆 C交于 A，B两点，线段 AB 的中点为 D，O为坐标原点，直线 OD
交椭圆于 M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）当四边形 MF1NF2为矩形时，求直线 l的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）y= ．
【详解】
（I）由已知可得： ，
解得 a2=6，b2=2，
∴椭圆 C的方程为 ；
（II）由题意可知直线 l的斜率存在，
设直线 l方程为 y=k（x 2﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．
联立 ，化为（1+3k2）x212k﹣2x+12k26=0﹣，
∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x24﹣）=，
∴线段 AB 的中点 D，
∴直线 OD 的方程为：x+3ky=0（k≠0）．
1
联立 ，解得 =，x3= 3ky﹣3．
∵四边形 MF1NF2为矩形，
∴=0，
∴（x32﹣，y3）•（﹣x32﹣，﹣y3）=0，
∴=0，
∴=0，解得 k= ，
故直线方程为 y= ．
考点：椭圆的简单性质．
2．设椭圆 的上焦点为 F，椭圆 E上任意动点到点 F的距离最大值为 ，最
小值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的标准方程；
（Ⅱ）过点 F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆 E交于 P，Q和M，N，求四边形 PMQN 的面积的最大
值．
【答案】（I） ； （Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）根据题中条件列出关于 a、c的方程组，解出 a和c的值，可得出 b的值，进而可得出椭圆 E的标准
方程；
（Ⅱ）对直线 PQ 与直线 MN 的斜率是否都存在分两种情况讨论．
① 当直线 PQ 与直线 MN 分别与 x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形 PMQN 的面
积；
② 当直线 PQ 与直线 MN 的斜率都存在时，设直线 PQ 的方程为 ，设点 、 ，
2
将直线 PQ 的方程与椭圆 E的方程联立，消去 y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得
出|MN|的表达式，从而得出四边形 PMQN 面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形 PMQN
面积的取值范围．结合①②得出四边形 PMQN 面积的最大值．
【详解】
（Ⅰ）设椭圆 E的焦距为 ，则有 ，解得 ，∴ ，
因此，椭圆 E的方程为 ；
（Ⅱ）如下图所示，椭圆 E的上焦点为 ．
① 当直线 PQ 与直线 MN 分别与 x轴、y轴垂直时，则 ， ，
此时，四边形 PMQN 的面积为 ；
② 当直线 PQ、MN 的斜率都存在时，设直线 PQ 的方程为 ，则直线 MN 的方程为 ，
设点 、 ，
将直线 PQ 的方程与椭圆 E的方程联立 ，消去 y得 ，
3
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