新高考数学之圆锥曲线综合讲义第3讲 长度问题（解析版）

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第3讲 长度问题
一．解答题（共 19 小题）
1．已知椭圆 ，与 轴不重合的直线 经过左焦点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点，弦
的中点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点．
（1）若直线 的斜率为 1，求直线 的斜率；
（2）是否存在直线 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理
由．
【解答】解：（1）由已知可知 ，又直线 的斜率为 1，所以直线 的方程为 ，
设 ， ， ， ，
由 解得 或 ，
所以 中点 ，
于是直线 的斜率为 ．
（2）假设存在直线 ，使得 成立．
当直线 的斜率不存在时， 的中点 ，
所以 ， ，矛盾；
故直线的斜率存在，可设直线 的方程为 ，
联立椭圆 的方程，得 ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
1
于是 ，
点 的 坐 标 为 ，
．
直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程，得 ，
设 ， ，则 ，
由题知， ，
即 ，
化简，得 ，故 ，
所以直线 的方程为 ， ．
2．已知椭圆 的离心率为 ，经过左焦点 的直线 与椭圆 相交于 ，
两点，与 轴相交于 点，且点 在线段 上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求直线 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为 ，
由已知可得 ，且 ，
所以 ，即有 ，
则椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）由题意可知直线 斜率存在，可设直线 ，
2
由 消 ，并化简整理得 ，
由题意可知△ ，设 ， ， ， ，
则 ，
因为点 ， 都在线段 上，且 ，
所以 ，即 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
解得 ，即 ．
所以直线 的方程为 或 ．
3．已知直线 经过椭圆 的右焦点 ，交椭圆 于点 ， ，点 为椭圆 的左
焦点， 的周长为 8．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 与直线 的倾斜角互补，且交椭圆 于点 、 ， ，求证：直线 与直线
的交点 在定直线上．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得 ， ， ，
椭圆 的标准方程 ．
（Ⅱ）若直线 的斜率不存在，则直线 的斜率也不存在，这与直线 与直线 相交于点 矛盾，所以直
线 的斜率存在．
令 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
3
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