新高考数学之立体几何综合讲义第20讲 立体几何综合问题（解析版）

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第20 讲 立体几何综合问题
一．解答题（共 14 小题）
1．如图，直线 平面 ，直线 平行四边形 ，四棱锥 的顶点 在平面 上，
， ， ， ， ， ， ， 分别是 与 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【解答】【答案】
（1）连接 ， ，底面 为平行四边形，
是 的中点， 是 的中点，
，
是 的中点， 是 的中点， ， ， ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）由 平面 ， 平行四边形
1
平面 底面 ， ， ，
四边形 为矩形，且 底面 ， ，
过 作 ，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系（如图）
由 ，知 ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ， ， ，即 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ， ， ，即 ，
2
二面角 的平面角 的余弦值 ．
2．如图，四边形 为菱形， ， ， 是平面 同一侧的两点， 平面 ，
平面 ， ， ．
证明：平面 平面 ；
求二面角 的余弦值．
【解答】 证明：连接 ，设 ，连接 ， ， ，
在菱形 中，不妨设 ，由 ，可得 ．
由 平面 ， 可知， ，
又 ， ， ，
在 中，可得 ，故 ．
在 中，可得 ．
在直角梯形 中，由 ， ， 可得 ，
， ， ， 平面 ，
面 ， 平面 平面 ．
解：如图，以 为坐标原点，分别以 的方向为轴， 轴正方向， 为单位长度，建立空间直角坐
标系 ，
3
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