新高考数学之立体几何综合讲义第19讲 利用传统方法找几何关系建系（原卷版）
第19 讲 利用传统方法找几何关系建系
一．解答题（共 20 小题）
1．如图：长为 3的线段 与边长为 2的正方形 垂直相交于其中心 ．
（1）若二面角 的正切值为 ，试确定 在线段 的位置；
（2）在（1）的前提下，以 ， ， ， ， ， 为顶点的几何体 是否存在内切球？若存
在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．
2．在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
3．如图（1），在等腰梯形 中， ， 是梯形的高， ， ，现将梯形沿 ，
折起，使 且 ，得一简单组合体 如图（2）示，已知 ， 分别为 ，
的中点．
1
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，则求平面 与平面 所成的锐二面角大小．
4． 三 棱 柱 中 ， ， ， 侧 面 为 矩 形 ， ， 二 面 角
的正切值为 ．
（Ⅰ）求侧棱 的长；
（Ⅱ）侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正切值为 ，若存在，判断点的位
置并证明；若不存在，说明理由．
5．如图，在四棱锥 中，底面四边形 内接于圆 ， 是圆 的一条直径， 平面
， ， 是 的中点，
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的正切值为 2，求直线 与平面 所成角的正弦值．
2
6．如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2的菱形，且 ， ，平面
平面 ，点 ， 为棱 ， 中点，二面角 的平面角的余弦值为 ．
（1）求棱 的长；
（2）求 与平面 所成角的正切值．
7．在如图所示的几何体中，平面 平面 ，四边形 为平行四边形， ，
， ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的正切值；
（Ⅲ）若点 在线段 上，求直线 与平面 所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大
值时，多面体 的体积．
8．如图，在多面体 中，侧面 底面 ，四边形 是矩形， ，
3
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