新高考数学之立体几何综合讲义第19讲 利用传统方法找几何关系建系（解析版）

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第19 讲 利用传统方法找几何关系建系
一．解答题（共 20 小题）
1．如图：长为 3的线段 与边长为 2的正方形 垂直相交于其中心 ．
（1）若二面角 的正切值为 ，试确定 在线段 的位置；
（2）在（1）的前提下，以 ， ， ， ， ， 为顶点的几何体 是否存在内切球？若存在，
试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）取线段 的中点为点 ，
连接 ， ， ．由于四边形 是正方形， 为其中心，所以 ，
又 面 面 ，所以 ，
而 ，所以 面 ， 面 ，所以 ，
同理可以证出 ， 为二面角 的平面角， ．
设 ， ， ，则 ．且
在 中， ，
同理在 中，
1
由 ，
得：
故 在线段 上的靠近 点的三分点位置；
（2）几何体 存在内切球，令球心为 ，
若设线段 的中点为点 ，内切球的半径为 ，由对称性可知：平面四边形 的内切圆的圆心为 ，
半径即为 ，
故 ，而 ， ．
所以 ，得 ．
由三角形相似有：
所以 ．故其内切球心 在点 距离为 的位置上．
（注：也可用分割体积法求
2
2．在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
【解答】解：（Ⅰ） 证明：连接 交 于点 ，连接 ，
，且 ， ，
又 ， 线段 是 的中位线，
，
面 ， 面 ，
面 ；
（Ⅱ） ， ，
四边形 是平行四边形，
又 ， 四边形 是矩形， ；
又 平面 ， ， ；
以 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，0， ，
3
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