新高考数学之立体几何综合讲义第18讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题（原卷版）

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第18 讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题
一．解答题（共 12 小题）
1．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，点 是
的中点，连接 ，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积．
2．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ， ，点 是 的中点，
记 、 的面积分别为 、 ，二面角 的大小为 ，证明：
（1）平面 平面 ；
（2） ．
3．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，点 是
的中点，连接 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
1
4．如图，在三棱锥 中， 和 均为等腰直角三角形，且 ，已知侧
面 与底面 垂直，点 是 的中点，点 是 的中点，点 在棱 上，且 ，点
是 上的动点．
（1）证明： ；
（2）当 平面 时，求二面角 的余弦值．
5．如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， ， 面积是 面积的两倍，
点 在侧棱 上．
（1）若 ，证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，且 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
6．如图，四棱锥 中，底面 为边长是 2的正方形， ， 分别是 、 的中
点， ， ，且二面角 的大小为 ．
（1）求证： ；
2
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