新高考数学之立体几何综合讲义第18讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题（解析版）

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第18 讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题
一．解答题（共 12 小题）
1．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，点 是
的中点，连接 ，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积．
【解答】解：（1）证明：如图所示，
因为 是等边三角形， ，
所以 ，可得 ，
又因为点 是 的中点，则 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）设 ，在 中， ，则 ；
在等边 中， ，
在等腰 中， ；
在 中，由 ，得 ；
由余弦定理得 ，
1
即 ，解得 ；
所以 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
2．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ， ，点 是 的中点，
记 、 的面积分别为 、 ，二面角 的大小为 ，证明：
（1）平面 平面 ；
（2） ．
【解答】解：（1）证明： ， ，
，
因为 为 的中点，所以 ， ，又 ， 交于 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）过 作 于 ，连 ，则 （因为两个三角形全等），
2
则 ， ，
在 中， ，
．
3．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，点 是
的中点，连接 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1） 是等边三角形， ，
， ，
点 是 的中点，则 ， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
解：（2）作 ，垂足为 ，连结 ，
3
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