新高考数学之立体几何综合讲义第17讲 立体几何建系繁琐问题（原卷版）
第17 讲 立体几何建系繁琐问题
一、解答题
1． 如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ，
的中点， 为 上一点．过 和 的平面交 于 ，交 于 ．
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为△ 的中心．若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角
的正弦值．
2． 如图，在锥体 中， 是边长为 1的菱形，且 ， ， ，
， 分别是 ， 的中点
（1）证明： 平面
（2）求二面角 的余弦值．
1
3． 如图， 是半径为 的半圆， 为直径，点 为 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，
平面 外一点 满足 ， ．
（1）证明： ；
（2）已知点 ， 为线段 ， 上的点， ， ，求平面 与平面 所成
二面角的正弦值．
4． 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．
它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了
完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥
中， 平面 ．
（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空： ，则三棱锥 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， ．
（
ⅰ
）证明：平面 平面 ；
（
ⅱ
）设平面 与平面 的交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小．
2
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