新高考数学之立体几何综合讲义第17讲 立体几何建系繁琐问题（解析版）

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第17 讲 立体几何建系繁琐问题
一、解答题
1． 如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ，
的中点， 为 上一点．过 和 的平面交 于 ，交 于 ．
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为△ 的中心．若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角
的正弦值．
【答案】（1）证明： ， 分别为 ， 的中点，底面为正三角形，
，四边形 为矩形， ，
， ， ，
， ， ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ，
1
综上， ，且平面 平面 ．
（2）解： 三棱柱上下底面平行，平面 与上下底面分别交于 ， ，
，
面 ， 面 ，面 面 ，
，四边形 为平行四边形，
是正三角形的中心， ，
， ， ，
由（1）知直线 在平面 内的投影为 ，
直线 与平面 所成角即为等腰梯形 中 与 所成角，
在等腰梯形 中，令 ，过 作 于 ，
则 ， ， ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
2． 如图，在锥体 中， 是边长为 1的菱形，且 ， ， ，
2
， 分别是 ， 的中点
（1）证明： 平面
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
在 中，根据余弦定理可以算出 ，
发现 ，可以得出 ，又
，
又 ，可以得出 ，而 ，
平面 ，而 平面 ，
，又 ，
．又 ，
平面 ．
（2）由（1）知， 平面 ，所以 为二面角 的平面角，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
因此二面角 的余弦值为 ．
3． 如图， 是半径为 的半圆， 为直径，点 为 的中点，点 和点 为线段 的三等分点，
3
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