新高考数学之立体几何综合讲义第15讲 立体几何折叠问题（解析版）

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第15 讲 立体几何折叠问题
一．解答题（共 13 小题）
1．如图，矩形 中， ， 为 的中点，现将 与 折起，使得平面 及
平面 都与平面 垂直．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【解答】解：（1）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连结 ， ， ，
则 ， ，
平面 与平面 都与平面 垂直，
平面 ， 平面 ，
由线面垂直的性质定理得 ，
， 四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ．
（2）解：如图，以 为原点， ， 为 ， 正半轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角
坐标系，
则 ， ，平面 的法向量 ，0， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，由图知 为钝角，
．
1
二面角 的余弦值为 ．
2．如图，在直角梯形 中， ， ，且 ， ， 分别为线段 ，
的中点，沿 把 折起，使 ，得到如下的立体图形．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
【解答】（1）证明： 在直角梯形 中， ， ，
， 分别为线段 ， 的中点，
， ，
又 ，且 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ．
（2）解：由（1）可得 ， ， 两两垂直，
故以 为原点建立空间直角坐标系，（如图）
设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，0， ，
，3， ， ，4， ， ，2， ，
，2， ， ，
2
， ， ．
，2， ， ， ，
设面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 可得： ，4， ，
同理可得平面 的法向量为 ，
．
由图形可知二面角 为锐角，
二面角 的余弦值为 ．
3．如图 1，在平行四边形 中， ， ， ， 、 分别为 、 的中点，
现把平行四边形 沿 折起如图 2所示，连接 、 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
3
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