新高考数学之立体几何综合讲义第14讲 立体几何存在性问题（解析版）

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第14 讲 立体几何存在性问题
一．解答题（共 12 小题）
1． 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ， ， ，
， 是 的中点， 在线段 上，且满足 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ，若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（Ⅰ）证法一：取 的中点 ， 的中点 ，连结 ， ，
在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ， ， ，
，
是 的中点， 在线段 上，
，且 ， ，且 ，
，且 ，四边形 为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（Ⅰ）证法二：由题意得 、 、 两两垂直，如图，以 为原点， 、 、 分别为 ，
， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，0， ， ，
1
， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
又 ，
．
又 平面 ， 平面 ．
解：（Ⅱ）设点 ， ， ，
则 ， ， ， ，2， ，
， ．
解得 ，
， ， ， ， ，1， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
由 ，得 ，取 ，得 ，2， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
二面角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）设 ，0， ， ， ，
2
，
，
，
与平面 所成角的余弦值是 ， 其正弦值为 ，
，解得 ，或 （舍 ，
在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ，
， ．
2．如图，已知长方形 中， ， ， 为 的中点．将 沿 折起，使得平面
平面 ．
（1）求证： ；
3
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