新高考数学之立体几何综合讲义第12讲 立体几何空间轨迹问题（解析版）

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第12 讲 立体几何空间轨迹问题
一．选择题（共 14 小题）
1．已知正方体 的棱长为 1，在正方体的侧面 上的点 到点 距离为 的点的
轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 　　
A．B．
C．D．
【解答】解：正方体的侧面 上的点 到点 距离为 的点的轨迹形成圆弧，如图：
且 为与球心距离为 1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为 ，
故选： ．
2．如图，在正方体 中， 是侧面 内一动点，若 到直线 与直线 的距离
相等，则动点 的轨迹所在的曲线是 　　
1
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【解答】解：由题意知，直线 平面 ，则 ，即 就是点 到直线 的距离，
那么点 到直线 的距离等于它到点 的距离，所以点 的轨迹是抛物线．
故选： ．
3．如图，在棱长为 1的正方体 中， 为棱 中点，点 在侧面 内运动，若
，则动点 的轨迹所在曲线为 　　
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解答】解： ， 是定值，
平面 ，
动点 的轨迹所在曲线为双曲线，
故选： ．
4．在棱长为 3的正方体 中， 是 的中点， 是底面 所在平面内一动点，设
， 与底面 所成的角分别为 ， ， 均不为 ，若 ，则三棱锥 体积的
2
最小值是 　　
A．B．C．D．
【解答】解：以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
正方体的边长为 3，则 ，0， ， ，0， ，
设 ， ， ， ，则 ， ， ， ， ， ，
， ，0， ，
，即 ，
代入数据，得： ，
整理得： ，
即 ，则动点 的轨迹为圆的一部分，
点 到直线 的距离的最大值是 2，则 到平面 的最小距离为 1．
三棱锥 体积的最小值是 ．
故选： ．
3
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