新高考数学之立体几何综合讲义第11讲 非常规空间几何体为载体（解析版）

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第11 讲 非常规空间几何体为载体
一．选择题（共 1小题）
1．如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 是圆周上不同于 ， 的任 意一点，
， ，则二面角 的大小的正弦值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接 ， ， ， ， ，
过 在平面 上作 于 ，连接 ，由三垂线定理 ，
是二面角 的平面角，
， ，所以在 中 ，
故选： ．
二．解答题（共 19 小题）
1
2．如图， 是圆的直径， 圆所在的平面， 是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求二面角 的大小．
【解答】（Ⅰ）证明： 圆所在的平面， ，
是圆的直径，且 是圆上的点， ，
又 ， 平面 ，
而 平面 ， 平面 平面 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 平面 ，
为二面角 的平面角，
在 中， ， ．
3．如图， 是圆 的直径， 垂直于圆 所在的平面， 是圆 0上异于 ， 的点，
（1）求证： 平面 ；
（2）设 ， 分别为 ， 的中点，问：对于线段 上的任一点 ，是否都有 平面 ？
并说明理由．
【解答】（1）证明：因为 圆所在的平面 ， 平面 ，所以可得 ，
因为 是圆 上的点， 是圆 的直径，所以由直径对的圆周角等于 ，可得 ．
2
再由 ，利用直线和平面垂直的判定定理可得 平面 ；
（2）对于线段 上的任一点 ，都有 平面 ．证明如下：
连接 ， ，则
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 是 的中位线，所以有 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
而 和 是平面 内的两条相交直线，故平面 平面 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
4． 如 图 ， 是 圆 的 直 径 ， 点 是 圆 上 异 于 ， 的 点 ， 垂 直 于 圆 所 在 的 平 面 ， 且
，
（Ⅰ）若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 体积的最大值；
（Ⅲ）若 ，点 在线段 上，求 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）在 中，因为 ， 为 的中点，
所以 ，
又 垂直于圆 所在的平面，
所以 ，
因为 ，
3
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