新高考数学之立体几何综合讲义第7讲 外接球与内切球（解析版）

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第7讲 外接球与内切球
一．选择题（共 14 小题）
1．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 6的等边三角形，且直线 与平面
所成角的正切值为 2．若三棱锥 的外接球的表面积为 ，则该三棱锥的体积为 　　
A．B．C．6 D．12
【解答】解：如图，
过点 作 ，垂足为 ， 为 的中点，
设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，连接 ， ， ，
由正弦定理得 ，则 ．
为 的中点， ，且 ，
．
平面 平面 ， 直线 与平面 所成角为 ，
则 ，即 ，设 ，则 ， ，
故 ．
三棱锥 的外接球的表面积为 ， ，得 ．
设三棱锥 的外接球的球心为 ，连接 ， ，过 作 ，垂足为 ，
则外接球 的半径 满足 ，
由 ，解得 ，即 ，
代入 ，
1
得 ，
解得 ．
故三棱锥的体积 ．
故选： ．
2．已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ， ，
．若四面体 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：由于 ，则四边形 四点共圆，
由于 平面 ， 平面 ，所以， ，
在 中， ， ，所以， ，
，所以，四边形 的外接圆直径为 ，
因此，四面体 的外接球直径为 ，
所以，该球的表面积为 ．
故选： ．
3．已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ， ，二
2
面角 的大小为 ．若四面体 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：如下图所示，
由于 ， ，所以， ，则 、 、 、 四点共圆．
平面 ， 平面 ， ．
又 ，且 ， 平面 ，
平面 ， ，则二面角 的平面角为 ，即 ．
在 中， ．
所以，直角 的外接圆直径为 ，即四边形 的外接圆直径为 ．
平面 ，所以，四棱锥 的外接球直径为 ，
因此，该球的表面积为 ．
故选： ．
4．三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ， ， ，若该三棱柱的所有顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，
3
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