新高考数学之立体几何综合讲义第6讲 体积公式与体积变换（原卷版）
第6讲 体积公式与体积变换
一．填空题（共 2小题）
1．在正三棱锥 中， 、 是 、 的中点， ，若 ，则正三棱锥 的
体积为 ．
2．已知两平行平面 、 间的距离为 ，点 、 ，点 、 ，且 ， ，若异面
直线 与 所成角为 ，则四面体 的体积为 ．
二．解答题（共 15 小题）
3．如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ，
．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若 面积为 ，求四棱锥 的体积．
4．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 为线段 的
中点， 为线段 上一点．
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）当 平面 时，求三棱锥 的体积．
1
5．如图四面体 中， 是正三角形， ．
（1）证明： ；
（2）已知 是直角三角形， ，若 为棱 上与 不重合的点，且 ，求四面体
与四面体 的体积比．
6．如图，在四棱锥 中， ，且
（1）证明：平面 平面 ．
（2）若 ， ，四棱锥 一 的体积为 9，求四棱锥 的侧面积
7．如图，已知正三棱锥 的侧面是直角三角形， ，顶点 在平面 内的正投影为点 ，
在平面 内的正投影为点 ，连接 并延长交 于点 ．
（Ⅰ）证明： 是 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由），并求四面体 的体积．
2
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