新高考数学之导数综合讲义第26讲 含参多变量消元（解析版）

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第26 讲 含参多变量消元
一．解答题（共 10 小题）
1．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ， 是 的两个零点．证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【解答】解：（1）函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，
所以 在 上单调递增．
当 时，令 ，
所以在 上， ， ， 单调递增，
在 ， 上， ， ， 单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增．
当 时，在 上 单调递增，在 ， 上 单调递减．
（2）证明： 由（1）可知，要使由函数 有两个零点，需 ，且 ，则 ，
又 ，故 ，则 ，
1
令 ，则 ，
在 上单减，
，
又 ，
，
又 ，
，即 ；
要证 ，由（1）可知，只需证 ，即证 ，
又 ，
只需证 ，即证 ，
令 ，则 ， ， ，
所以上述不等式等价于 ，即 ，亦即 ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，即 （1） ，即得证．
2．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ， 为 的两个零点，证明： ．
2
【解答】解：（1）函数 的定义域为 ，
函数 ， ．
，
当 时 恒成立，
在 上单调递增，
当 时，
令 得 ，令 得 ，
在 上单调递增， 上单调递减．
（2）由 ， 为 的两个零点及（1）知 ，
，两式相减得 ，即 ，
要证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
不妨设 ，令 ，只需证 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ， 在 上单减，
（1） ， 在 上单增，
（1） ，即 在 时恒成立，原不等式得证．
3
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