新高考数学之导数综合讲义第25讲 剪刀模型（解析版）

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第25 讲 剪刀模型
1．已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意
的实数 ，都有 ；
（Ⅲ）若方程 为实数）有两个实数根 ， ，且 ，求证： ．
【解析】（Ⅰ）解：由 ，可得 ．
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减．
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（Ⅱ）证明：设点 的坐标为 ， ，则 ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
令函数 ，即 ，
则 ．
， 当 时， ；当 ， 时， ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
对于任意实数 ， ，即对任意实数 ，都有 ；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知， ，设方程 的根为 ，可得 ．
1
在 上单调递减，又由（Ⅱ）知 ，
因此 ．
类似地，设曲线 在原点处的切线方程为 ，可得 ，
对于任意的 ，有 ，即 ．
设方程 的根为 ，可得 ，
在 上单调递增，且 ，
因此 ，
由此可得 ．
2．已知函数 ， ．其中 ． ．
（1）讨论 的单调性；
（2）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意的
正实数 ，都有 ；
（3）设 ，若关于 的方程 为实数）有两个正实根 ， ，求证： ．
【解析】解：（1）由 ，可得 ，其中 ，且 ．
下面分两种情况讨论：
①当 为奇数时，令 ，解得 ，或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
2
递减 递增 递减
所以， 在 ， 上单调递减，在 单调递增；
②当 为偶数时，
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减；
所以， 在 单调递增，在 上单调递减；
（2）证明：设点 的坐标为 ， ，则 ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
令 ，即 ，
则 ．
由于 在 上单调递减，故 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，当 ， 时， ，
所以 在 内单调递增，在 ， 上单调递减，
所以对应任意的正实数 ，都有 ，
即对于任意的正实数 ，都有 ．
（3）证明：不妨设 ，
由（2）知 ，设方程 的根为 ，
可得 ，由（Ⅱ）知 ，可得 ．
3
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