新高考数学之导数综合讲义第24讲 导数中的恒成立问题（解析版）

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第24 讲 导数中的恒成立问题
1．若 ， 恒成立，则整数 的最大值为 　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解： 恒成立，
即 恒成立，
即 的最小值大于 ，
，
令 ，
则 ， 在 上单调递增，
又 （2） ， （3） ，
存在唯一实根 ，且满足 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ，
，
故整数 的最大值为 3．
故选： ．
2．已知关于 的不等式 在 恒成立，则整数 的最大取值为 　　
A．3 B．1 C．2 D．0
【解析】解：若关于 的不等式 在 恒成立，
即 在 恒成立，
1
令 ， ， ，
故 在 递增，而 时， ， （1） ，
故存在 ，使得 ，故 ，
故 在 递减，在 ， 递增，
故 ，
故 ，
故选： ．
3．已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则整数
的最大值为　 4 　 ．
【解析】解： ，
时，不等式 恒成立，
亦即 对一切 恒成立，
所以不等式转化为 对任意 恒成立．
设 ，则 ，
令 ，则
所以 在 上单调递增．
因为 （3） ， （4） ，
所以 在 上存在唯一实根 ，且满足 ，
当 时， ，即 ；
2
当 时， ，即 ．
所以函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
又 ，所以 ．
所以 ，
所以
故整数 的最大值是 4．
故答案为：4．
4．已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则整数 的
最大值为　 4 　 ．
【解析】解：因为当 时，不等式 恒成立，
即 对一切 恒成立，
亦即 对一切 恒成立，
所以不等式转化为 对任意 恒成立．
设 ，则 ，
令 ，则
所以 在 上单调递增．
因为 （3） ， （4） ，
所以 在 上存在唯一实根 ，且满足 ，
当 时， ，即 ；
3
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