新高考数学之导数综合讲义第23讲 导数解答题之max，min函数问题（解析版）

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第 23 讲 导数解答题之 max，min 函数问题
1．已知函数 ， ．
（1）若直线 与曲线 相切，求实数 的值；
（2）用 ， 表示 ， 中的最小值，设函数 ， ，讨论 零点的个数．
【 解 析 】 解 ： （ 1） 依 题 意 ， ， 则 曲 线 在 点 ， 处 的 切 线 方 程 为
，
又 ，代入整理得 ，此直线与 重合，得 ，消去
得：
①，令 ，则 ，当 时 单调递增，当 时，
单调递减， （1） ．由①知 ， ，解得 ；
（2）①当 时， ，所以 ，无零点；
②当 时， （1） （1） ，从而 （1） ，故 为 的一个零点；
③当 时， ，则 的零点即为 的零点．
又 ，
1
所以①当 时， ，此时 在 上单调递增， （1） ，此时 无零点；
②当 时，令 ，解得： ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 （1） ，
在 上无零点，另外，由（1）可知 （1） 恒成立，
即 对 恒成立，则 ，
所以 ，故存在 ，
进而存在 ，使得 ，即 ，此时 在 上存在唯一零点；
综上可得：当 时， 有 1个零点；当 时， 有 2个零点．
2．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）记 ， 表示 ， 中的最小值，设 ， ，若函数 至少有三
个零点，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） 的定义域为 ，
，
令 ，得 ．
2
①当 ，即 时， ；
②当 ，即 时， ；
③当 ，即 时， ，
综上，当 时， 的单减区间为 和 ，单增区间为 ；
当 时， 的单减区间为 ，无增区间；
当 时， 的单减区间为 和 ，单增区间为 ．
（2） 的唯一一个零点是 ，
， ，
由（1）可得：
当 时， ，
此时 至多有两个零点，不符合题意；
（ⅱ）当 时， 在定义域 上单减递减，
此时 至多有两个零点，不符合题意；
（ⅲ）当 时，
若 （2） ，即 ，此时 至多有两个零点，不符合题意；
若 （2） ，即 ，此时 ，
即 ，
此时 恰好有三个零点，符合题意；
3
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