新高考数学之导数综合讲义第22讲 导数解答题之端点效应问题（解析版）

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第22 讲 导数解答题之端点效应问题
1．设函数
（Ⅰ）证明： 的导数 ；
（Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ） 的导数 ．
由于 ，故 ．
（当且仅当 时，等号成立）．
（Ⅱ）令 ，则 ，
（ⅰ）若 ，当 时， ，
故 在 上为增函数，
所以， 时， ，即 ．
（ⅱ）若 ，方程 的正根为 ，
此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数．
所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ， ．
2．（理 已知函数 ．
求证： ；
如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围．
1
【解析】解：（Ⅰ）令 ， ．
，定义域为 ；
在 递增， ；
在 ， 递增 ．
从而可得结论．
（Ⅱ） ①当 时，对 ，由（Ⅰ）的证明知 ．
②当 时， ，不合题意．
③当 时，今 ．
则 ．
取 ．则 ．
易知当 时， ，
递增 ，即 ，不合题意．
综上知： ， ．
3．设函数 ．
2
（Ⅰ）当 时，判断函数 的零点的个数，并且说明理由；
（Ⅱ）若对所有 ，都有 ，求正数 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当 时， 的定义域是 求导，得
所以， 在 上为减函数，在 上为增函数， （e） ．
又 （1） ，根据 在 上为减函数，
则 在 上恰有一个零点；
又 ，则 （e） ，
所以 在 上恰有一个零点，
再根据 在 上为增函数， 在 上恰有一个零点．
综上所述，函数 的零点的个数为 2．
（Ⅱ）令 ，
求导，再令 ，
则
（ⅰ）若 ，当 时， ，
故 在 ， 上为减函数，
3
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