新高考数学之导数综合讲义第21讲 导数解答题之隐零点问题（解析版）

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第21 讲 导数解答题之隐零点问题
1．设函数 ．
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值．
【解析】解：（Ⅰ） ， ， ， ， ，
函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ） ， ．
若 ，则 恒成立，所以， 在区间 上单调递增．
若 ，则当 时， ，当 时， ，
所以， 在区间 上单调递减，在 上单调递增．
由于 ，所以， ．
故当 时， ．①
令 ，则 ．
函数 在 上单调递增，而 （1） ， （2） ．
所以 在 上存在唯一的零点，故 在 上存在唯一的零点．
设此零点为 ，则 ．当 时， ；当 时， ；
1
所以， 在 上的最小值为 ．由 ，可得 ，
所以， ， ．由于①式等价于 ．
故整数 的最大值为 2．
2．已知函数 ．
（Ⅰ）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性；
（Ⅱ）当 时，证明 ．
【解析】（Ⅰ）解： ， 是 的极值点， ，解得 ．
所以函数 ，其定义域为 ．
．
设 ，则 ，所以 在 上为增函数，
又 ，所以当 时， ，即 ；当 时， ， ．
所以 在 上为减函数；在 上为增函数；
（Ⅱ）证明：当 ， 时， ，故只需证明当 时 ．
当 时，函数 在 上为增函数，且 ， ．
故 在 上有唯一实数根 ，且 ．
当 时， ，当 ， 时， ，
从而当 时， 取得最小值．
由 ，得 ， ．
2
故 ．
综上，当 时， ．
3．已知函数 ．
（1）设 是 的极值点，求 并讨论 的单调性；
（2）当 为奇函数时，证明： 恒成立．
【解析】（1）解： ， 是 的极值点，
，解得 ．
函数 ，其定义域为 ．
设 ，则 ，
在 上为增函数，
又 ，
当 时， ，即 ；当 时， ， ．
在 上为减函数；在 上为增函数；
（2）证明： ，
为奇函数，
，
3
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