新高考数学之导数综合讲义第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明（解析版）

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第20 讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明
1．已知函数 ．
（1）证明：函数 在 上单调递增；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【解析】解：（1）证明： ，
因为 ，所以 ， ，
于是 （等号当且仅当 时成立）．
故函数 在 上单调递增．
（2）由（1）得 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
（ⅰ）当 时， 成立．
（ⅱ）当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
故 时， ．
由 式可得 ，
令 ，则
由 式可得
1
令 ，得 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，
即 时， ，
所以 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
即 时， ，与 矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ， ．
2．已知函数 为常数， 是自然对数的底数）是实数集 上的奇函数，函数
是区间 ， 上的减函数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 及 所在的取值范围上恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）试讨论函数 的零点的个数．
【解析】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数
，
， （4分）
（Ⅱ）由 知 ， ，
又 在 ， 上单调递减，
在 ， 上恒成立．
2
对 ， 恒成立，
， （6分）
在 ， 上恒成立，即 （7分）
，
，
即 对 恒成立
令 ，则 （8分）
， ． （9分）
（Ⅲ）由 知 ，
讨论函数 的零点的个数，即讨论方程 根的个数．
令 ， ，
，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数，
当 时， （e）
而 ，
函数 、 在同一坐标系的大致图象如图所示，
3
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