新高考数学之导数综合讲义第19讲 导数解答题之凹凸反转问题（解析版）

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第19 讲 导数解答题之凹凸反转问题
1．设函数 ， ．
（1）判断函数 零点的个数，并说明理由；
（2）记 ，讨论 的单调性；
（3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得： ，
，
故 在 递增；
又 （1） ， （e） ，
故函数 在 内存在零点，
的零点个数是 1；
（2） ，
，
当 时， ， 在 递减，
当 时，由 ，解得： （舍取负值），
时， ， 递减，
， 时， ， 递增，
综上， 时， 在 递减，
1
时， 在 递减，在 ， 递增；
（3）由题意得： ，
问题等价于 在 恒成立，
设 ，
若记 ，则 ，
时， ，
在 递增，
（1） ，即 ，
若 ，由于 ，
故 ，故 ，
即当 在 恒成立时，必有 ，
当 时，设 ，
①若 ，即 时，
由（2）得 ， 递减， ， ， 递增，
故 （1） ，而 ，
即存在 ，使得 ，
故 时， 不恒成立；
2
②若 ，即 时，
设 ，
，
由于 ，且 ，
即 ，故 ，
因此 ，
故 在 递增，
故 （1） ，
即 时， 在 恒成立，
综上， ， 时， 在 恒成立．
2．设函数 ，证明 ．
【解析】证明： ，
从而 等价于 ．
设函数 ，
则 ，
所以当 时， ；
3
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