新高考数学之导数综合讲义第18讲 导数解答题之多元变量消元思想（解析版）

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第18 讲 导数解答题之多元变量消元思想
1．已知函数 ．
（Ⅰ）若 是定义域上的单调函数，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 在定义域上有两个极值点 ， ，证明： ．
【解析】解：（Ⅰ） ，
令 则△
， 对称轴
①当 时，△ ， ，
，故 在 单调递减．
②当 时，△ ，
方程 有两个不相等的正根 ，
不妨设 ，则当 ， 时， ，
当 ， 时， ，这时 不是单调函数．
综上， 的取值范围是 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 ， 有极小值点 和极大值 ，
且 ， ，
1
，
令 ，
则当 时， ，
（a）在 单调递减，
所以 ，
故 ．
2．已知函数
（1）若 ，求 的图象在 ， （1） 处的切线方程；
（2）若 在定义域上是单调函数，求 的取值范围；
（3）若 存在两个极值点 ， ，求证： ．
【解析】解：（1） ，函数 ，
可得 ，
（1） ，
切线方程为 ；
（2） 依题意有 或 在 上恒成立，
即 或 在 上恒成立，
显然 不可能恒成立，
2
，
解得 ；
（3）由 ， 得 ，即 ， 是 的两根，
， ，
，
由已知 ， ， ，
．
3．设函数 ．
（1）若 在定义域上为单调函数，求 的取值范围；
（2）设 ， 为函数 的两个极值点，求 的最小值．
【解析】解：（1）
设 ．
①△，即 时， 恒成立， ，
在 上为减函数；
②△，即 时， 在 上有两相异实根，
在 上不是单调函数，不合题意，
3
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