新高考数学之导数综合讲义第17讲 导数解答题之极值点偏移问题（解析版）

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第17 讲 导数解答题之极值点偏移问题
1．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，证明： ．
【解析】解：（1） ， ，
当 时， ， 在 上递减；
当 时， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上递减，在 ， 上递增；
综上：当 时， 在 上递减；
当 时， 在 上递减，在 ， 上递增；
（2）证明：若函数 有两个零点 ， ，
则①，②，
① ② 得： ，故 ，
① ② 得： ，故 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
， ，
1
即证 ，即证 ， ，
令 ，则 ，
， ，
则 ，
故 在 单调递减，
又 （1） ，故 （1） ，
故 ，故 ．
2．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ， 是 的两个零点．证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【解析】解：（1）函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，
所以 在 上单调递增．
当 时，令 ，
2
所以在 上， ， ， 单调递增，
在 ， 上， ， ， 单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增．
当 时，在 上 单调递增，在 ， 上 单调递减．
（2）证明： 由（1）可知，要使由函数 有两个零点，需 ，且 ，则 ，
又 ，故 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单减，
，
又 ，
，
又 ，
，即 ；
要证 ，由（1）可知，只需证 ，即证 ，
又 ，
只需证 ，即证 ，
令 ，则 ， ， ，
3
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