新高考数学之导数综合讲义第16讲 导数解答题之先构造，再赋值，证明和式或积式不等式（解析版）

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第16 讲 导数解答题之先构造，再赋值，证明和式或积式不等式
1．已知函数 ， ，（其中 ， 为自然对数的底数， ．
（1）令 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值．
【解析】解：（1）因为 ，
所以 ，
由 对任意的 恒成立，即 ，
由 ，
当 时， ， 的单调递增区间为 ，
所以 时， ，
所以不满足题意．
当 时，由 ，得 ，
时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
设 （a） ，所以 （a） ，①
因为 （a） ，
令 （a） ，得 ，
1
所以 （a）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 （a） （1） ，②
由①②得 （a） ，则 ．
（2）由（1）知 ，即 ，
令 ， ，1，2，3， ， ，则 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
又 ，
所以 的最小值为 2．
2．已知函数 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值．
【解析】解：（1）因为函数 ， ，
所以 ，且 （1） ．
2
所以当 时 恒成立，此时 在 上单调递增，这与 矛盾；
当 时令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，即 （a），
若 ，则 （a） （1） ，从而与 矛盾；
所以 ；
（2）由（1）可知当 时 ，即 ，
所以 当且仅当 时取等号，
所以 ， ．
，
即 ；
因为 为整数，且对于任意正整数 ， 成立，
当 时， ，
所以 的最小值为 3．
3．已知函数 （其中 ， 为自然对数的底数， ．
（1）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）设 为整数，对于任意正整数 ， ，求 的最小值．
【解析】解：（1）因为 ，所以 ，
令 ，得 ； 令 ，得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
3
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