新高考数学之导数综合讲义第14讲 导数解答题之导数中的函数不等式放缩（解析版）

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第14 讲 导数解答题之导数中的函数不等式放缩
1．已知 ， ，其中 为自然对数的底数．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若在（1）的条件下，当 取最大值时，求证： ．
【解析】（1）解：法一：（分类讨论法）．因为 ， ．
①当 时， ，所以 ，
故 在 ， 上单调递增，
所以 ，所以 ．
②当 时，令 ，
若 ， ；若 ， ，
所以 在 上单减，在 上单增；
所以 ，
解得 ，此时 无解，
综上可得 ．
法二：（分离参数法）． 恒成立 在 ， 上恒成立．
1
令 ，则 ，
所以 在 ， 上单增，
故 ，所以 ．
（2）证明：由题意可知， ．
要证 ，
先证明： 时， ．
令 ．
当 时， ，所以 在 ， 上单减，
所以 （1） ，所以 ．
所以要证明 式成立，只需要证明 ． （8分）
令 ，则 ， ，
令
又 在 ， 上单调递增，则在 ， 上， ，
在 ， ， ．
2
所以， 在 ， 上单减，在 ， 上单增，
所以 ，
所以 在 ， 上单调递增，所以 （1） ．
所以 成立，也即是 式成立．故 ．
2． 已 知 函 数 ， ， 且 曲 线 在 处 的 切 线 方 程 为
．
（1）求 ， 的值；
（2）求函数 在 ， 上的最小值：
（3）证明：当 时， ．
【解析】解：（1） ，
，
（1） ， （1） ，
， ．
（2）由（1）得： ，
， ，
在 上递减，在 上递增．
3
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