新高考数学之导数综合讲义第12讲 导数解答题之分离参数类（解析版）

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第12 讲 导数解答题之分离参数类
1．已知函数 ．
（1）若函数 在定义域内单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 ，且关于 的方程 在 ， 上恰有两个不等的实根，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1）函数的定义域为 ，
，
函数 在定义域内单调递增，
在 时恒成立，
则 在 时恒成立，
即 ，
当 时， 取最小值 ，
的取值范围是 ， ．
（2）当 ，由 得 在 ， 上有两个不同的实根，
设 ， ， ，
，
， 时， ， ， 时， ，
（2） ， ， （4） ， ，
（1） （4）
1
．
2．已知函数 ． 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当 时，试求 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在 ， 上有三个不同的极值点，求实数 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）易知，函数的定义域为 ，
，
当 时，对于 ， 恒成立，
所以 若 ， ，若 ， ，
所以单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（Ⅱ）由条件可知 在 ， 上有三个不同的根，
即 在 ， 有两个不同的根，
令 ， ，
， 时单调递增， 时单调递减，
（1） ， ， （2） ，
，
．
3．已知函数 ， ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
2
（Ⅱ）若不等式 有唯一正整数解，求实数 的取值范围．
【解析】解（Ⅰ）
①当 时， ，所以 在 上单调递增；
②当 时，由 ，得 ．
此时，当 ， 时， ， 单调递增；
当 ， 时， ， 单调递减 （5分）
（Ⅱ）由 得：
当 时，不等式显然不成立，又 为正整数，
所以 ， ， （7分）
记 ，则 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， （10 分）
且 ，所以 ，
解得 ，
综上所述， 的取值范围为： ， （12 分）
4．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，对于任意 ， ， ，都有 恒成立，求 的取值范围．
3
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