新高考数学之导数综合讲义第11讲 导数解答题之导数基础练习题（解析版）

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第11 讲 导数解答题之导数基础练习题
1．已知函数 ， ．
（1）求函数 在区间 ， 上的最小值 ；
（2）令 ， ， ， ， 是函数 图象上任意两点，且满足
，求实数 的取值范围；
（3）若 ， ，使 成立，求实数 的最大值．
【解析】解：（1） ，令 ，则 ，
当 时， 在 ， 上单调递增， 的最小值为 ； （1分）
当 时， 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数， 的最小值为 （1） ．
综上，当 时， ；当 时， ． （3分）
（2） ，对于任意的 ， ，不妨取 ，则 ，
则由 ，可得 ，
变形得 恒成立， （5分）
令 ，
则 在 上单调递增，
故 在 恒成立， （7分）
在 恒成立．
1
，当且仅当 时取“ ”， ； （10 分）
（3） ， ．
， ， ， ，
， 使得 成立．
令 ，则 ， （12 分）
令 ，则由 ，可得 或 （舍 ．
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增．
， 在 ， 上恒成立．
在 ， 上单调递增．则 （1），即 ． （15 分）
实数 的最大值为 1． （16 分）
2．已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 在 ， 上的最小值；
（Ⅱ）若存在 ， 是常数， 使不等式 成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明对一切 都有 成立．
【解析】解：（Ⅰ） ，当 ， ， 单调递减，
当 ， ， ， 单调递增．
2
①， 无解；
②，即 时， ；
③，即 时， 在 ， 上单调递增， ；
．
（Ⅱ）由题意知 ，则 ，
设 ，则 ，
， ， ， 单调递减， ， ， ， 单调递增，
所以 ， （e）
因为存在 ， ， 恒成立，所以 ；
因为 ， （e） ，
所以 （e），
所以 ；
（Ⅲ）　问题等价于证明 ，
由（Ⅰ）知 ， 的最小值是 ，当且仅当 时取到
设 ，则 ， （1） ，
当且仅当 时取到，从而对一切 ，都有 成立．
3．已知函数 ，
3
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