新高考数学之导数综合讲义第10讲 导数解答题之零点问题（解析版）

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第10 讲 导数解答题之零点问题
1．已知函数 ， 是常数，且 ．
（Ⅰ）讨论 零点的个数；
（Ⅱ）证明： ， ．
【解析】证明：（Ⅰ） ，
解 得 ，或
①时 ， ， 若 ， ， ， 若 ， ，
． 有一个零点，
②时， ，
，0
0 0
由上表可知， 在区间 ， 有一个零点 ，
，又 ，
任取 ， ，
在区间 有一个零点，从而 有两个零点，
③时， ， 在 上单调递增，有一个零点 ，
1
④时， ，
0，
0 0
由上表可知， 在区间 有一个零点 ，在区间 ， 有一个零点，从而 有
两个零点，
（Ⅱ）证明：取 ，由（1）知 在 上单调递增，
取 ，则 ，化简得 ，
取 ，由（1）知 在区间 上单调递减，
取 ，由 得 ，
即 ，
综上， ，
2．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【解析】解：（1）由 ，求导 ，
当 时， ，
2
当 ， 单调递减，
当 时， ，
令 ，解得： ，
当 ，解得： ，
当 ，解得： ，
时， 单调递减， ， 单调递增；
当 时， ，恒成立，
当 ， 单调递减，
综上可知：当 时， 在 单调减函数，
当 时， 在 是减函数，在 ， 是增函数；
（2）①若 时，由（1）可知： 最多有一个零点，
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
当 ， ，且远远大于 和 ，
当 ， ，
函数有两个零点， 的最小值小于 0即可，
由 在 是减函数，在 ， 是增函数，
3
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