新高考数学之导数综合讲义第06讲 导数与零点（解析版）

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第6讲 导数与零点
1．设函数 （其中 为自然对数的底数，若函数 至少存在一个零点，则实数
的取值范围是 　　
A．B．C．D．
【解析】解：令 ，
则 ，
设 ，
令 ， ，
，发现函数 ， 在 上都是单调递增，在 ， 上都是单调递减，
函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
故当 时，得 ，
函数 至少存在一个零点需满足 ，
即 ．
故选： ．
2．设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范
围是 　　
A． ， B． ，
C． ， D． ，
1
【解析】解： 的定义域为 ，
又 ，
函数 至少存在一个零点可化为
函数 至少有一个零点；
即方程 有解，
则 ，
；
故当 时， ，
当 时， ；
则 在 上单调递增，
在 上单调递减，
故 ；
又 当 时， ，
故 ；
故选： ．
3．已知函数 与函数 的图象有两个不同的交点，则实数 取值范围为 　　
A． ， B．C．D．
【解析】解：由题意得： ，
2
，
问题转化为函数 的图象和函数 的图象有 2个交点，
，
故函数 在 和 上递增，
在 ， 单调递减，且 时，
， ， （2） ，
作出函数 的图象，
如图示：
观察图象得：函数 和 的图象有 2个不同的交点时，
实数 ， ，
故选： ．
4．已知函数 的定义域为 ，且对任意 都满足 ，当 时， ．
（其中 为自然对数的底数），若函数 与 的图象恰有两个交点，则实数 的取值范
3
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