新高考数学之导数综合讲义第05讲 导数与极最值（解析版）

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第5讲 导数与极最值
1．若函数 只有一个极值点，则 的取值范围为 　　
A．B． ， C．D． ，
【解析】解：函数 只有一个极值点，
，
若函数 只有一个极值点， 只有一个实数解，则 ，
从而得到 ，当 时，成立．
当 时，设 ， ，
如图，当两函数相切时， ，此时得到 的最大值，但 时不成立，
故 的取值范围为 ， ，
又 （2） ，当 时，由 ，得 ，此时 只有一个极值点．
综上， 的取值范围为 ， ．
故选： ．
2．已知函数 ，若 是函的 的唯一一个极值点，则实数 的取值范围为 　　
1
A． ， B．C． ， D． ， ，
【解析】解： 函数 ， ，
，
是函数 的唯一一个极值点
是导函数 的唯一根．
在 ， 无变号零点，
令 ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
在 递减，在 ， 递增，
的最小值为 ，解得： ，
又 时， ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
在 递减，在 递增，
是函的 的唯一一个极值点，符合题意，
综上所述， ， ．
故选： ．
3．已知函数 ， 是 的唯一极小值点，则实数 的取值范围为
　　
A． ， B． ， C． ， D． ，
2
【解析】解：由题可知， ，
是 的唯一极小值点， 恒成立，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
，
，即 ．
故选： ．
4．已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则 　　
A．B．
C．D．
【解析】解：由题意， 的定义域为 ，
；
有两个极值点 ， ，
有两个不同的正实根 ， ，
的判别式△，解得 ，
，
， ，
，且
3
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