新高考数学一轮复习知识点总结专题28 复数（解析版）

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第 28 讲复数
考点一 复数
(一) 复数的概念
1.虚数单位 ：
1）满足 ；
2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立．
3）i 与-1 的关系：
i
就是
1
的一个平方根，即方程 的一个根，方程 的另
一个根是-i．
4）i 的周期性： ， ， ， ．于是就有
．
2.数系的扩充：复数
( 0)
ii( 0)
i( 0) i( 0)
a b
a b b a
a b b a b a
 
实数
纯虚数
虚数 非纯虚数
3.复数的定义：
基本概念：形如 的数叫复数，
a
称为复数的实部，
b
称为复数的虚部．全体
复数所成的集合叫做复数集，用字母
C
表示．复数通常用字母
z
表示，即
，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式．
4.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：
对于复数 ，当且仅当 时，复数 是实数
a
；当 时，复
数 叫做虚数；当 且 时， 叫做纯虚数；当且仅当 时，
z
就是实数 0．
1
5.两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果
a，b，c， ，那么 且 ．特殊地，当 时，
．
6.复数模的性质：
1） ；
2） ；
3） ；
4） ．
7.共轭复数：
定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数
z
的共轭用
z
表示．虚部不等于
0
的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
数的性质：设 ，则（1） ；（2） ；（3）
．
(二) 复数的几何意义
1.共轭复复平面、实轴、虚轴：
概念:复数 与有序实数对 是一一对应关系．建立一一对应的关系．
点
Z
的横坐标是
a
，纵坐标是
b
，复数 可用点 表示，这个建立
了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚
轴．实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为
，它所确定的复数 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚
数．
2.几何表示：复数
一一对应
复平面内的点 或向量
OZ

是向量的几何表示．
2
注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量
OZ
应特别注意它是以原点为起
点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与
OZ
相等的向量有无数多个．
(三) 复数的四则运算
1.复数
1
z
与
2
z
的和的定义：
2.复数
1
z
与
2
z
的差的定义：
3.交换律：
4.结合律：
5.乘法运算规则：设 ， 是任意两个复数，那么它们的
积 。其实就是把两个复数相乘，类似两
个多项式相乘，在所得的结果中把
2
i
换成
1
，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积
仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1）
2）
3）
7.复数除法定义：满足 的复数 叫复数 除
以复数
c di
的商，记为： 或者 ．
3
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