新高考数学一轮复习知识点总结专题08 导数的恒成立与能成立（解析版）

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第 8 讲 导数的恒成立与能成立
考点 1：导数的恒成立与能成立
一、导数的恒成立问题
1. ∀x∈(a，b)
，
f(x)>k
恒成立
⇔f¿
2.
∀x∈(a，b)
，
f(x)>g(x)
恒成立
⇔¿
3.
∀x1，x2∈(a，b)
，
恒成立
⇔f(x)min>g(x)max
4.
∀x∈(a，b)
，
f(x)<k
恒成立
⇔f¿
5.
∀x∈(a，b)
，
f(x)<g(x)
恒成立
⇔¿
6.
∀x1，x2∈(a，b)
，
|
f(x1)− f (x2)
|
<k
恒成立
⇔f(x)max − f (x)min<k
二、导数的能成立问题
1.
x0∈(a，b)
，
f(x0)>k
成立
⇔f¿
2.
x0∈(a，b)
，
f(x0)>g(x0)
成立
⇔¿
3.
∃x1，x2∈(a，b)
，
f(x1)>g(x2)
成立
⇔f(x)max>g(x)min
4.
x0∈(a，b)
，
f(x0)<k
成立
⇔f¿
5.
x0∈(a，b)
，
f(x0)<g(x0)
成立
⇔¿
6.
∃x1，x2∈(a，b)
，
f(x1)<g(x2)
成立
⇔f(x)min<g(x)max
三、恒成立与能成立综合问题
1.
∀x1，x2∈(a，b)
，
f(x1)<g(x2)
恒成立
⇔f(x)max<g(x)min
1
2.
∀x1∈(a，b)
，
∃x2∈(a，b)
，
f(x1)>g(x2)
成立
⇔f(x)min>g(x)min
3.
∃x1∈(a，b)
，
∀x2∈(a，b)
，
f(x1)>g(x2)
成立
⇔f(x)max>g(x)max
4.
∀x1∈(a，b)
，
∃x2∈(a，b)
，
f(x1)=g(x2)
成立
⇔
{
f(x)max<g(x)max
f(x)min >f(x)min
{y∨y=f
(
x
)
，x∈(a，b)}⊆{y∨y=g
(
x
)
，x∈(a，b)}
2
典例精讲
【典例 1】不等式 ，在 ， 上恒成立，则 的取值范围是 　　
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由于 的对称轴为 ，
当 时， 在 ， 递减，
在 递增，则 （a） ，
当 时， 在 ， 递增，则 ．
．
综上，则 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【典例 2】函数 对 恒成立，则 的取值范围为 　　
A． B．
C． D．
3
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