新高考数学一轮复习易错题易错点10 立体几何 （原卷版） -备战2021年新高考数学一轮复习易错题

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易错点 10 立体几何
—备战 2021 年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，
利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为 O)，
地球上一点 A的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A处的水平面是指过点 A且
与OA 垂直的平面.在点 A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A处的纬度为
北纬 40°，则晷针与点 A处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
例2（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1的棱
长均为 2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为______
__．
例3（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方
1
形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l．
（1）证明：l⊥平面 PDC；
（2）已知 PD=AD=1，Q为l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值．
【易错警示】
易错点 1. 柱、锥、台结构特征判断中的误区
【例 1】如图所示，几何体的正确说法的序号为________．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截
去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
易错点 2. 解答平面图形直观图还原问题的易错点
【例 2】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形 OA′B′C
′的面积为，则原梯形的面积为(　　)
A．2　　 B. C．2 D．4
易错点 3. 求几何体表面积、体积考虑不全.
【例 3】把长、宽分别为 4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
易错点 4. 垂直性质定理应用的误区
【例 4】已知两个平面垂直，下列命题：
① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线　 ②一个平面内的已知直线
必垂直于另一个平面的无数条直线　③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面　④
过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题个数是(　　)
2
A．3　　　　B．2 C．1 D．0
易错点 5. 空间图形位置关系考虑不全面
【例 5】①若
a
，
a
，则
//
②若
//,, 则
③ 若
baba //,,,// 则
④若
baba //,,,// 则
其中正确命题的序号有________.
易错点 6．几何体计算公式掌握不牢
【例 6】凸多面体的体积
V
( )
A．
2
16
B． 1 C．
D．
2
2
1
易错点 7. 找不到要求的角
【例 7】长方体
ABCD
－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝4，AB＝3，则直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的
正弦值是 .
易错点 8. 球形与其它图形几何的组合图形把握不准
提示：有关球的问题，多数采用过球心的截面法转换为平面几何问题
【例 8】一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为
，则球的表面积为______.
【训练】如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，∠ABC=900，BA=BC，
球心
O
到平面 ABC 的距离是
3 2
2
，则 B、C 两点的球面距离是 （ ）
3
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