新高考数学一轮复习易错题易错点10 立体几何 （解析版）-备战2021年新高考数学一轮复习易错题

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易错点 10 立体几何
—备战 2021 年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，
利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为 O)，
地球上一点 A的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A处的水平面是指过点 A且
与OA 垂直的平面.在点 A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A处的纬度为
北纬 40°，则晷针与点 A处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面
垂直的定义判定有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成
1
角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面
的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面
和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂
直的性质，属于中档题.
例2（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1的棱
2
长均为 2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为______
__．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据已知条件易得 ， 侧面 ，可得侧面 与球面的交线上的
点到 的距离为 ，可得侧面 与球面的交线是扇形 的弧 ，再根据弧长
公式可求得结果.
【详解】如图：
取 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，
因为 60°，直四棱柱 的棱长均为 2，所以△ 为等边三角
形，所以 ， ，
3
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