新高考数学一轮复习易错题易错点04 导数及其应用（解析版）-备战2021年新高考数学一轮复习易错题
易错点 04
—备战 2021 年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知函数
．
（1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的
面积；
（2）若 f（x）≥1，求 a的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出
与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当 a=1 时由
得,符合题意；当 a>1 时，可证 ，从而
存在零点 ，使得 ，得到 ，利用零点的条件，结合指
数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得 恒成立；当 时，研究
1
.即可得到不符合题意.综合可得 a的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将 ,
令,上述不等式等价于 ,注意到 的单调性，进一
步等价转化为 ，令 ,利用导数求得 ，进而根据不
等式恒成立的意义得到关于 a的对数不等式，解得 a的取值范围.
【详解】（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设,则
2
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,
∴
成立.
当 时， ， ， ,
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当
时 ， ， ，
因此
>1,
∴ ∴
恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数 a的取值范围是[1,+∞).
解法二： 等价于
,
令,上述不等式等价于 ,
3
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