新高考数学一轮复习易错题易错点01 集合与常用逻辑用语（解析版）-备战2021年新高考数学一轮复习易错题

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易错点 01 集合与常用逻辑用语

—备战 2021 年高考数学一轮复习易错题

【典例分析】（2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）设集合 A={x|x2–

4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（）

A. –4 B. –2 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a的方程，求解方程即可确定实

数a的值.

【详解】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得： .

由于，故：，解得： .

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

【易错警示】

易错点 1．代表元素意义不清致错

【例 1】集合 A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则 A∩B等于(　　)

A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}

C．{(2,4)} D．∅

【错解】由得或故选 A.

【错因】导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A中的元素是实数 y，而 B中的元

素是实数对(x，y)，也就是说，集合 A为数集，集合 B为点集，因此 A、B两个集合中没有

公共元素，从而这两个集合的交集为空集．

【正解】D

易错点 2．忽视集合元素的互异性致错

【例 2】已知集合 A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且 A∩B＝{3,7}，

求集合 B.

【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得 a＝1或a＝－5.

当a＝1时，集合 B＝{0,7,3,1}；

当a＝－5时，集合 B＝{0,7,3}．

综上知集合 B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．

【错因】由题设条件知集合 B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，

与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．

【正解】应将当 a＝－5时的集合 B＝{0,7,3}舍去，故集合 B＝{0,7,3,1}．

易错点 3．忽视空集致错

【例 3】已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，

求实数 m的取值范围．

【错解】由B⊆A，得解得 2≤m≤3.

【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．

原因是考虑不全面，由集合 B的含义及 B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．

因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能．

【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B⊆A.

①若B＝∅，则 m＋1>2m－1，解得 m<2，此时有 B⊆A；

②若B≠∅，则 m＋1≤2m－1，即 m≥2，

由B⊆A，得解得 2≤m≤3.

由①②得 m≤3.∴实数 m的取值范围是{m|m≤3}.

易错点 4．判断充要条件时出错

【例 4】(1)设x∈R，则 x>2 成立的必要条件有________．(填上所有正确的序号)

①x>1；② x<1；③ x>3；④ x<3；⑤ x>0.

【错解】③；因为 x>3⇒x>2，所以 x>2 的一个必要条件为 x>3.

【错因】错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是 b”的真正含

义，前者说明 b⇒a；后者等价于“b是a的必要条件”，即 a⇒b.

【正解】①⑤；因为 x>2⇒x>1，所以 x>2 的一个必要条件为 x>1.同理 x>2⇒x>0，

所以 x>2 的一个必要条件为 x>0.

(2)命题 p：“向量 a与向量 b的夹角 θ为锐角”是命题 q：“a·b>0”的________条件．

【错解】若向量 a与向量 b的夹角 θ为锐角，

则cos θ＝>0，即 a·b>0，反之也成立，所以 p是q的充要条件．

【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．

【正解】若向量 a与向量 b夹角 θ为锐角，则 cos θ＝>0⇒a·b>0；

而a·b>0 时，θ＝0°也成立，但此时 a与b夹角不为锐角．故 p是q的充分不必要条件．

易错点 5．对含有一个量词的命题否定不完全

【例 5】已知命题 p：存在一个实数 x0，使得 x－x0－2<0，写出

¬p

【错解一】命题

¬p

：存在一个实数 x0，使得 x－x0－2≥0.

【错解二】命题

¬p

：对任意的实数 x，都有 x2－x－2<0.

【错因】该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的

¬p

仍是特称命题，

显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否

定，而没有对结论进行否定．

【正解】命题

¬p

：对任意的实数 x，都有 x2－x－2≥0.

【变式练习】

1．已知集合，那么（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由解得或，所以，

故.所以 .

故选：B

2．（2020·广东省高三其他（理））已知集合

则=（）

A．B．C．D．

【答案】C

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