新高考数学二轮热点专题之一网打尽专题11 二面角模型（解析版）

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专题 11 二面角模型（解析版）
一、解题技巧归纳总结
二面角模型
如图 1 所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图 2 所示，底面四边形 的四个顶点共
圆且 为该圆的直径．
二、典型例题
例1.在三棱锥 中， ，三角形 为等边三角形，二面角 的余弦值为 ，
当三棱锥 的体积最大值为 时，三棱锥 的外接球的表面积为　　．
【解析】如图所示，过点 作 面 ，垂足为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角的补角，即有 ，
易知 面 ，则 ，而 为等边三角形，
所以 为 中点，
1
设 ， ， ，
则 ，
故三棱锥 的体积为： ，
当且仅当 时，体积最大，则 ，即 ， ，
所以 、 、 三点共线，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，
过点 作 于 ，则四边形 为矩形，
则 ， ， ，
在 中， ，解得 ，
三棱锥 的外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
例2.在等腰直角 中， ， ， 为斜边 的高，将 沿 折叠，使二面角
为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为　　．
【解析】沿 折叠后二面角 为 ，即折叠后 ，所以 为等边三角形，
又因为 ，所以折叠后 ，
2
设点 为三棱锥 外接球的球心， 为 的外心，
所以 ，所以 ，
又 ，所以球心半径 ，
所以 ，
故答案为： ．
例3.在三棱锥 中， 和 均为边长为 2的等边三角形，且二面角 的平面角为
，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
【解析】如图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 与 均为边长为 2的等边三角形，
所以 ， ，则 为二面角 的平面角，即 ，
设 与 外接圆圆心分别为 ， ，
则由 ，
可得 ， ，
分别过 作平面 ，平面 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，
记为 ，连接 ， ，则由对称性可得 ，
所以 ，则 ，
则三棱锥外接球的表面积 ，
故答案为： ．
3
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